Ligesidet Trekant: Formler, Højde, Areal og Omkreds

Der er en særlig ro over en figur, hvor alle tre sider er lige lange – det er lidt som at møde noget, der bare er bygget rigtigt. Ifølge Wikipedia (da) – den frie encyklopædi er en ligesidet trekant en trekant, hvor alle tre sider er lige lange, og hver vinkel er præcis 60 grader. Vi ser på de formler, du skal bruge til højde, areal og omkreds, og du får nogle huskeregler, så du selv kan regne på en ligesidet trekant – både til undervisning og i praksis.

Vinkler: 60° · Sider: 3 lige lange · Vinkelsum: 180° · Symmetriakser: 3 · Højde (s=1): 0,866 · Areal (s=1): 0,433 · Wikipedia (da)

De vigtigste nøgletal

Hvis du kun har brug for et hurtigt overblik, så er det her tallene samler sig. De følgende værdier gælder for en vilkårlig ligesidet trekant og er beskrevet hos blandt andet Wikipedia (da) og Store norske leksikon.

Læg mærke til, at du faktisk kun behøver at kende s – alle de andre værdier følger med fra formlerne.

Hvad er en ligesidet trekant?

En ligesidet trekant har tre lige lange sider og tre lige store vinkler på 60°. Den er den eneste trekanttype, der kombinerer fuld sidesymmetri med ens vinkler. Wikipedia (da) bekræfter disse egenskaber.

Ligesidet, ligebenet eller retvinklet?

Trekanter kan deles op efter sider og vinkler. Her er forskellen på de tre mest omtalte typer:

Klassificeringen følger den beskrivelse, som Study.com (undervisningsplatform) giver af trekanter opdelt efter sider og vinkler. Det særlige ved den ligesidede trekant er, at den samtidig opfylder betingelsen om lige lange sider og lige store vinkler – noget, som de andre trekanter ikke gør.

Implication: Den ligesidede trekant står alene som den eneste figur, der forener begge klassifikationsakser.

Specifikationer for en ligesidet trekant

Har du brug for en hurtig reference med faste værdier, så er det her opskriften:

Værdierne for s = 1 kan du selv regne efter med formlerne fra Wikipedia (da). At arealet ender på 0,433 og ikke et pænt rundt tal, skyldes faktoren √3 – sådan er det bare, når man har med trekanter med lige store vinkler at gøre.

Fordele og ulemper

Fordele

• Du skal kun kende én side for at regne resten ud.
• Højdeformlen er den samme, uanset hvilken side du kalder grundlinje.
• Symmetrien gør den nem at konstruere med lineal og passer.

Ulemper

• Højden er altid kortere end siden – hvis s = 10, er h ≈ 8,66.
• Formlerne indeholder √3, så resultaterne er ofte irrationale tal.
• I design giver den begrænset variation, fordi alle sider og vinkler er ens.

Skal du bruge en form, der kan varieres, er den retvinklede trekant ofte lettere at arbejde med. Skal du derimod have en trekant med maksimal symmetri, er den ligesidede uden sammenligning den stærkeste kandidat.

Hvad er højden i en ligesidet trekant?

Højden er afstanden fra et hjørne vinkelret ned til den modstående side. Formlen er h = (s · √3) / 2, som Wikipedia (da) angiver. Den kan udledes ved at dele trekanten i to retvinklede trekanter og bruge Pythagoras.

Sådan regner du på en ligesidet trekant

Fremgangsmåden er den samme, uanset om du kender siden, højden eller arealet. Start med det, du ved, og brug formlerne her:

1. Find sidelængden s. Har du kun højden, så brug s = (2h) / √3 (omrokering af højdeformlen).
2. Beregn højden med h = (s · √3) / 2 (Wikipedia (da)).
3. Beregn arealet med A = (s² · √3) / 4 (Store norske leksikon).
4. Beregn omkredsen med O = 3s (MatNat.dk).

The catch: selvom formlerne virker abstrakte, er de alle afledt af én simpel sidelængde.

Hvordan beregner man sidelængden i en trekant?

Kender du højden, kan du omskrive højdeformlen til s = (2h) / √3. Kender du arealet, kan du isolere s i arealformlen. MatNat.dk viser også alternative metoder med trigonometri.

Er en trekant altid 180?

Vinkelsummen i enhver trekant er altid 180 grader. I en ligesidet trekant betyder det, at hver vinkel er 60 grader, som Wikipedia (da) bekræfter.

Hvilke forskellige typer trekanter findes der?

Efter sider: ligesidet, ligebenet og forskelligsidet. Efter vinkler: spids, ret og stump. Den ligesidede trekant er samtidig spids, fordi alle vinkler er under 90 grader, ifølge Study.com.

Bekræftet viden og typiske misforståelser

Det kan du regne med

• Alle vinkler er 60 grader (Wikipedia (da)).
• Vinkelsummen er 180 grader (Wikipedia (da)).
• Højden er s · √3 / 2 (Wikipedia (da); MatNat.dk).
• Arealet er s² · √3 / 4 (Store norske leksikon).

Det er en myte

• “En ligesidet trekant kan også være retvinklet.” – Nej, en retvinklet trekant har en vinkel på 90°, og i en ligesidet trekant er alle vinkler 60°.
• “Højden er lige så lang som siden.” – Nej, h = s · √3 / 2 ≈ 0,866 · s, så højden er altid kortere end siden.

Misforståelserne opstår tit, fordi man forveksler den ligesidede trekant med den retvinklede trekant. Men hvor retvinklede trekanter har én helt særlig vinkel, har den ligesidede trekant som den eneste tre ens vinkler.

Hvad siger kilderne?

En ligesidet trekant er en trekant, hvor alle tre sider er lige lange. I en ligesidet trekant er alle vinkler 60 grader.Wikipedia (da) – den frie encyklopædi

Omkredsen af en ligesidet trekant er O = 3s.MatNat.dk

Arealet af en ligesidet trekant kan skrives som s²√3 / 4.Store norske leksikon

Trekanter klassificeres på baggrund af sider og vinkler, og en ligesidet trekant har både lige lange sider og lige store vinkler.Study.com

Sammenfatning

Lægger man formlerne ved siden af hinanden, opdager man noget bemærkelsesværdigt: en enkelt størrelse – sidelængden s – er nok til at udlede hele trekanten. Den egenskab gør den ligesidede trekant til et godt udgangspunkt, når du skal lære at tænke i formler – og når du senere skal bygge videre på figuren. Denne kompakthed betyder, at geometristuderende kan fokusere på at forstå én formel i stedet for mange.

Ofte stillede spørgsmål